Вестник СамГУ 2015. № 6 (128). С.12-22.
УДК 517.9
Асташова И.В.
О КОЛЕБЛЕМОСТИ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ТИПА ЭМДЕНА – ФАУЛЕРА ВЫСОКОГО ПОРЯДКА
Аннотация. Исследуется существование и поведение колеблющихся решений нели- нейных уравнений с регулярной и сингулярной степенной нелинейностью. В частности, доказывается существование колеблющихся решений уравнения y(n) + P(x; y; y ′ ; : : : ; y(n−1))|y|k sign y = 0; n > 2; k ∈ R; k > 1; P ̸= 0; P ∈ C(Rn+1): Приводится критерий колеблемости всех решений квазилинейного уравнения четного порядка y(n) + nΣ−1 i=0 aj(x) y(i) + p(x) |y|k sign y = 0; p ∈ C(R); aj ∈ C(R); j = 0; : : : ; n − 1; k > 1; n = 2m; m ∈ N; обобщающий известные критерии Аткинсона и Кигурадзе. Доказывается существование квазипериодических колеблющихся решений уравнения y(n) + p0 |y|k sign y = 0; n > 2; k ∈ R; k > 0; k ̸= 1; p0 ∈ R; в случае регулярной (k > 1) и сингулярной (0 < k < 1) нелинейности при (−1)np0 > 0: Приводится результат о существовании периодических решений этого уравнения при n = 4; k > 0; k ̸= 1; p0 < 0:
Ключевые слова: квазилинейное дифференциальное уравнение, степенная нелинейность, колеблемость решений, критерий колеблемости, периодические ре;